Канстанцін Шаравараў нарадзіўся ў Мінску. У дзяцінстве разам з сябрамі гуляў у футбол і хакей, спрабаваў сябе ў валейболе, барацьбе, гімнастыцы і ўрэшце рэшт трапіў у гандбольную секцыю. Першыя поспехі не заставілі сябе чакаць і юнак трапіў у Рэспубліканскую спартыўную школу-інтэрнат. У 1982 г. ва ўзросце 18 гадоў Канстанцін атрымаў запрашэнне ўвайсці ў склад мінскага СКА пад кіраўніцтвам Спартака Мірановіча. У 1980-х – пачатку 1990-х гг. мінскі клуб быў адным з мацнейшых у Савецкім Саюзе. У складзе гэтай каманды Канстанцін Шаравараў быў чэмпіёнам СССР у 1984–1986 і 1988–1989 гг., выйграў серабро чэмпіянатаў краіны у 1982–1983, 1987 і 1990 гг., стаў бронзавым прызёрам у 1991 г., быў уладальнікам Кубка еўрапейскіх чэмпіёнаў у 1987–1989 гг., заваяваў Кубак кубкаў еўрапейскіх краін у 1988 г.

Лепшыя гандбалісты мінскага СКА ўваходзілі ў склад зборнай СССР. Канстанцін Шаравараў таксама выступаў за нацыянальную зборную. У 1988 г. на XXIV летніх Алімпійскіх гульнях зборная СССР абыграла каманды Алжыра, ЗША, Ісландыі, Швецыі, Югаславіі, Паўднёвай Карэі і заваявала чэмпіёнскі тытул.

У 1990 г. Канстанцін Шаравараў стаў сярэбраным прызёрам чэмпіянату свету, рыхтаваўся да ўдзелу ў Алімпіядзе ў Барселоне, аднак спартыўныя траўмы не дазволілі гэтага.

Пасля шэрага аперацый і рэабілітацыі спартсмен вярнуўся ў вялікі спорт: у 1992 г. працаваў у Германіі, у 1993–1996 гг. гуляў за гандбольныя клубы Ізраіля, у 1997–2001 гг. прадстаўляў шведскі гандбол. Пасля завяршэння спартыўнай кар’еры па прапанове Спартака Мірановіча стаў трэнерам. З 2005 г. Канстанцін Рыгоравіч Шаравараў з’яўляецца галоўным трэнерам жаночай гандбольнай каманды “БНТУ-БелАЗ”.

Даведка падрыхтавана на аснове матэрыялаў сайта Нацыянальнага алімпійскага камітэта Рэспублікі Беларусь у 2019 г.