Андрэй Барбашынскі нарадзіўся 4 мая 1970 г. ў горадзе Ашмяны Гродзенскай вобласці. Свой чэмпіёнскі шлях пачаў у 12 гадоў у ДзЮСШ г. Ашмяны пад кіраўніцтвам трэнера Віктара Браніслававіча Рамулевіча. Цалкам свой патэнцыял атлет раскрыў у гандбольным клубе “СКА–Мінск” пад кіраўніцтвам знакамітага трэнера Спартака Мірановіча. За гэты клуб Барбашынскі выступаў з 1988 г. па 1995 г. з адным гадавым перапынкам – з 1993 г. да 1994 г., калі спартсмен выступаў за іспанскі гандбольны клуб “Хувентуд”. Спартсмен з’яўляецца таксама чэмпіёнам свету сярод юніёраў 1989 г., уладальнікам Кубка СССР 1989 г., сярэбраным прызёрам чэмпіянату СССР 1990 г., бронзавым прызёрам чэмпіянату свету сярод юніёраў 1991 г., бронзавым прызёрам чэмпіянату СССР 1991 г., срэбраным прызёрам чэмпіянату СНД 1992 г.

У 1992 годзе Андрэй Барбашынскі ў складзе аб’яднанай каманды СНД стаў чэмпіёнам Гульняў XXV Алімпіяды ў Барселоне–1992. Пасля Алімпійскіх гульняў Андрэй Барбашынскі на працягу некалькіх гадоў гуляў за гандбольны клуб “СКА–Мінск”. Пазней вы’ехаў за мяжу, дзе паспрабаваў свае сілы ў венгерскім “Фотэксе”, доўгі час выступаў за нямецкія клубы “Хамельн”, “Эмсдэтэн”. Сёння Андрэй Барбашынскі жыве ў Беларусі, мае ўласны бізнес па вытворчасці матрацаў і артапедычных падушак.

Даведка падрыхтавана на аснове матэрыялаў сайта Нацыянальнага алімпійскага камітэта Рэспублікі Беларусь у 2019 г.