Нарадзіўся паэт у в. Шамятоўка Свіслацкага раёна Гродзенскай вобласці ў сялянскай сям’і. Пасля заканчэння сярэдняй школы ў 1979 г. працаваў на чыгунцы, шафёрам у калгасе “Гнезна” ў Ваўкавыскім раёне. З 1980 г. служыў у арміі ў г. Кушка (Туркменістан). У 1982 г. стаў студэнтам Мінскага інстытута культуры (цяпер Беларускі дзяржаўны ўніверсітэт культуры і мастацтваў), пасля заканчэння якога (1987) працаваў дырэктарам клуба Брэсцкага завода бытавой хіміі. Зараз жыве і працуе ў Брэсце.

Пісаць вершы пачаў яшчэ ў школе. Некаторыя з іх былі надрукаваны ў Ваўкавыскай раённай газеце на рускай мове. Беларускамоўныя творы з’явіліся ў студэнцкія гады. Вялікі ўплыў на творчасць А. Дэбiша аказалі выкладчыкі кафедры беларускай мовы і літаратуры інстытута, паэтэса Яўгенія Янішчыц, пачынаючы празаік Андрэй Федарэнка, а таксама маладыя літаратары Анатоль Сыс, Міхась Скобла і інш.

У 1992 г., у серыі бібліятэка часопіса “Маладосць” выйшаў зборнік “Белыя птахі” (сумесна з братам В. Дэбішам), дзе надрукавана нізка вершаў пад назвай “Калядная вячэра”, аўтарам якой з’яўляецца Анатоль Дэбіш. Значную падтрымку яму аказалі берасцейскія паэты Алесь Каско і Ніна Мацяш, якія сталі рэдактарамі першых твораў. Па іх рэкамендацыі ў 1993 г. ён быў прыняты ў Саюз пісьменнікаў Беларусі.

Ужо першыя вершы А. Дэбіша вылучаліся сваёй арыгінальнасцю, тэматыкай і вобразнасцю. Пра што б ні пісаў паэт – пра далёкі цяжкі час, пра сваё маленства ці пра каханне – за кожным радком паўставала жывая душа, не па ўзросту спакутаваная. Анатоль Дэбіш схільны да паяднання гісторыі з сучаснасцю. Шчымлівым болем, гневам і надзеяй прасякнута яго паэма “Курапаты – 57”. У 1995 г. у выдавецтве “Мастацкая літаратура” выйшла кніга паэзіі “Стодзівы”, у назве якой знайшла адлюстраванне чароўная вобразнасць беларускай міфалогіі. Вершы брэсцкага паэта А. Дэбіша друкуюцца таксама ў часопісах “Маладосць”, “Беларусь”, “Полымя”, “Крыніца”, “Дзеяслоў”, альманахах “Дзядзінец”, “Дзень паэзіі”, “Жырандоля”, зборніках “Берасцейскія карані”, “Белай Вежы свет”, штотыднёвіку “Літаратура і мастацтва” і іншых выданнях.

Матэрыял падрыхтаваны ў 2012 г. Брэсцкай цэнтральнай гарадской бібліятэкай імя А.С. Пушкіна.