Выдатны шахматыст Л.А. Палугаеўскі нарадзіўся ў Магілёве ў сям’і рабочага. У пачатку Вялікай Айчыннай вайны бацькі эвакуіраваліся ў Куйбышаў (зараз Самара), які на той час з’яўляўся адным з галоўных шахматных цэнтраў краіны. Менавіта ў гэтым горадзе будучы гросмайстар зацікавіўся шахматамі. Ён наведваў секцыю пры Палацы піянераў і ўжо ў 1953 г. стаў майстрам спорту. У 1956–1957 гг. увайшоў у склад каманды СССР, з якой удзельнічаў у некалькіх студэнцкіх чэмпіянатах свету. Праз тры гады інжынер Л.А. Палугаеўскі (ён скончыў Куйбышаўскі індустрыяльны інстытут) атрымаў званне гросмайстра СССР, а ў 1962 г. стаў міжнародным гросмайстрам.

Першы значны поспех прыйшоў да шахматыста ў 1961 г. Гэта была перамога на чэмпіянаце РСФСР, потым ён атрымліваў залатыя (упершыню – у снежні 1967 г.), сярэбраныя і бронзавыя медалі на чэмпіянатах і Спартакіядах СССР. У складзе зборнай краіны прымаў удзел у некалькіх шахматных алімпіядах, чэмпіянатах Еўропы, у 1985 г. у чэмпіянаце свету, з’яўляўся ўдзельнікам міжнародных спаборніцтваў самага высокага рангу. У 1969 г. Л.А. Палугаеўскаму было прысвоена званне заслужанага майстра спорту. Асобнае месца ў яго шахматнай біяграфіі займае ўдзел у грандыёзным “матчы стагоддзя” (Бялград, 1970), у якім Л.А. Палугаеўскі выступаў за зборную СССР, і ў матчы са зборнай лепшых шахматыстаў свету (Лондан, 1984). З канца 1960-х гг. ён пачаў змагацца за шахматную карону на першынстве свету. У матчы прэтэндэнтаў (1974 г.) дайшоў да чвэрцьфіналу, а ў 1977 і 1980 гг. стаў паўфіналістам. У фіналах 1978 і 1981 гг. выступаў як трэнер-кансультант А. Карпава.

Шасціразовы пераможца Сусветных шахматных алімпіяд у складзе каманды СССР, пераможца Першага каманднага чэмпіянату свету, двухразовы чэмпіён СССР Л.А. Палугаеўскі ўвайшоў у гісторыю шахмат як буйны тэарэтык. Ён зрабіў вялікі ўклад у развіццё дэбютнай тэорыі. З імем гросмайстра звязаны шэраг схем у закрытых пачатках. Асаблівую ўвагу ён надаваў сіцыліянскай абароне. На працягу многіх гадоў Л.А. Палугаеўскі з’яўляўся членам прэзідыума Шахматной федэрацыі СССР, старшынёй Вышэйшай кваліфікацыйнай камісіі, членам Савета гросмайстраў. За дасягненні ў галіне шахмат узнагароджаны ордэнам “Дружба народаў” (1981), медалём “За працоўную доблесць” (1985).

Пасля складанай аперацыі на галаўным мозгу, выкліканай анкалагічным захворваннем, Л.А. Палугаеўскі памёр у парыжскай клініцы 30 жніўня 1995 г. Пахаваны ў Парыжы на могілках Манпарнас. У памяць пра гросмайстра ў Самары заснаваны мемарыял, які носіць яго імя.

Матэрыял падрыхтаваны ў 2014 г. УК "Магілёўская абласная бібліятэка імя У. І. Леніна.