Аляксей Піліпавіч Асташоў нарадзіўся ў вёсцы Шапчыцы Доўскай воласці Рагачоўскага павета Магілёўскай губерні (цяпер вёска Шапчыцы Званецкага сельсавета Рагачоўскага раёна Гомельскай вобласці).

У пачатку 1930-х гг. А.П. Асташоў авалодаў спецыяльнасцю механізатара, працаваў трактарыстам, камбайнёрам і шафёрам у розных галінах народнай гаспадаркі. У 1934–1936 гг. праходзіў тэрміновую службу ў радах Чырвонай Арміі. У час Вялікай Айчыннай вайны прымаў удзел у баявых дзеяннях. Быў цяжка паранены ў бітве за Каўказ (1942–1943).

Пасля вайны А.П. Асташоў жыў у Атрадненскім раёне Краснадарскага краю Расіі. Працаваў комбайнёрам на машынна-трактарнай станцыі, у няпростых умовах пасляваеннага часу нязменна дамагаўся высокіх вынікаў на ўборцы збожжавых культур. У 1950 г. за 25 рабочых дзён намалаціў камбайнам «Сталінец-1» больш за 9 тыс. цэнтнераў збожжа.

Указам Прэзідыума Вярхоўнага Савета СССР ад 27 лютага 1951 г. за дасягненне высокіх паказчыкаў на ўборцы і малацьбе збожжавых і алейных культур у 1950 г. Аляксею Піліпавічу Асташову было прысвоена званне Героя Сацыялістычнай Працы з уручэннем ордэна Леніна і залатога медаля «Серп і Молат».

Гэтак жа выдатна працаваў А.П. Асташоў і ў наступныя гады: прымаў удзел у рабоце Усесаюзнай сельскагаспадарчай выставы, быў узнагароджаны медалямі «За працоўную доблесць» (1952) і «За працоўную адзнаку» (1966).

Пераклад 2021 г. матэрыялаў Міжнароднага інтэрнэт-праекта «Герои страны».